En este curso técnico de impresoras 3D cartesianas, en la lección “Impresoras 3D Cartesianas vs. impresoras 3D Delta”, hemos visto una comparación entre ambas impresoras, en donde afirmamos que las Delta son más rápidas que las Cartesianas. En este post vamos a demostrarlo numéricamente, realizando un análisis cinemático simplificado de las dos impresoras.

Impresoras 3D Delta

Comenzamos por el análisis de las Delta que, por simplicidad, se va a realizar reducido a un solo eje.

Lo primero que hacemos es entender cómo está formado el mecanismo. Tenemos tres tipos de elementos:

• Tres guías verticales que se deslizan arriba y abajo a lo largo del eje Z. Estas guías están dispuestas en triángulo equilátero (de ahí el nombre de la letra griega delta)
• Del extremo superior de cada una de las guías, se acopla un brazo que transmite el movimiento al extrusor, al que se une en el eje X en su otro extremo
• El extrusor, que se mueve por todo el espacio de impresión en función de la altura que tenga cada brazo, recibiendo el movimiento a través de las guías

Para realizar el análisis, estudiamos cómo está relacionada una guía al extrusor, por medio del brazo:

• 1 guía
• 2 brazo
• 3 extrusor

De esta forma, tenemos:

• z posición del extremo superior del brazo en el eje Z
• x posición del extremo inferior del brazo en el eje X
• L longitud del brazo
• α ángulo que forma el brazo con la guía

Posición de x en función de la posición en z

En la siguiente imagen se puede observar que la posición en x depende de la posición en z, es decir, de lo que el brazo se mueva hacia arriba o hacia abajo. Por consiguiente, depende también de α. Es decir, x, z y α son variables, mientras que la longitud del brazo L es constante.

Vamos a establecer la relación numérica para esto. Las razones trigonométricas que necesitamos, dado el triángulo, son:

Con esta información, podemos calcular la posición en x en función de la posición en z:

Velocidad de x en función de la posición y velocidad en z

Sabiendo que la velocidad es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido (representado con t), vamos a calcular la velocidad en x a partir de la posición:

También se puede expresar la velocidad en x en función de la posición en z y la velocidad en z, sustituyendo el valor de la tangente:

Para comprobar lo estudiado, sustituyendo en las ecuaciones diferentes valores de la posición z, calculando en cada caso cuál sería la posición en x correspondiente, y el valor en el que aumenta la velocidad para el z dado.

Damos 5 valores diferentes a la posición en el eje Z, desde 40 cm hasta 0 cm, y calculamos, para ese valor, la posición correspondiente en el eje X, el ángulo α y la velocidad en x. Para ello, establecemos la longitud del brazo L = 40 cm.

Impresoras 3D Cartesianas

En las impresoras 3D Cartesianas esto no ocurre. El extrusor se desplaza a lo largo del eje, y el movimiento no depende de ningún ángulo. Esto hace que la velocidad no varíe en función de la posición, como ocurre en las delta.

Conclusiones

Hemos demostrado que una impresora delta, usando el mismo motor que una cartesiana, tendrá mayor velocidad que la cartesiana, porque la velocidad de un eje es directamente proporcional a la velocidad de los otros ejes. Por lo tanto, si z se mueve a una velocidad, x lo hará a una velocidad aún mayor. En cambio, esto no ocurre en las cartesianas, pues en éstas la velocidad de un eje no depende del resto de velocidades.

Con esto queda demostrado que:

• La posición de x depende de la posición de z
• La velocidad de x depende de la posición en z y la velocidad en z
• El eje X tendrá una velocidad mayor que el eje Z, y además dependerá de la posición en la que se encuentre z en cada momento o, lo que es lo mismo, del ángulo α. A medida que z disminuye, α aumenta, creciendo también la velocidad de x
• Las impresoras delta, por lo tanto, tienen una mayor velocidad que las cartesianas

Si quieres saber más y te interesa estudiar este análisis de forma tridimensional, sin reducirlo a un sólo eje, puedes consultar este estudio cinemático de un robot delta:
MÉNDEZ CANSECO, Mauricio Cirilo. Diseño de un robot paralelo. Universidad Anáhuac México Sur.

En la próxima publicación comenzaremos con el siguiente bloque del curso, el extrusor. Mantente atento si quieres seguir aprendiendo, y no dudes en dejarnos tus comentarios.